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第二节 离散趋势指标
作者：徐荣祥 出书社：中国科学手艺出书社 刊行日期：2009年7月
离散（dispersion）趋势指标指的是计量资料所有视察值偏离中心位置的水平（measures of variation）。。。。。形貌离散趋势的主要统计指标有全距（range，， ，，，， ，，R）、方差（variance）、标准差（standard deviation）、变异系数（coefficient of variation）等。。。。。
一、全距
全距又称极差，， ，，，， ，，以符号R体现。。。。。R即是一个变量的所有视察值中最大值（maximum，， ，，，， ，，Max）与最小值（miximum，， ，，，， ，，Max）之间的差值。。。。。盘算公式为（368）：R=Max-Max。。。。。当盘算计量单位相同的变量时，， ，，，， ，，全距越大，， ，，，， ，，视察值的离散水平越大。。。。。
如一组烧伤病人的最大烧伤面积为90%TBSA，， ，，，， ，，最小面积为10%TBSA，， ，，，， ，，按公式（368）盘算，， ，，，， ，，R=90-10=80%TBSA。。。。。
二、方差
方差是离均差平方和的平均值，， ，，，， ，，方差的巨细只与视察值离散水平有关，， ，，，， ，，而与视察值个数的几多无关。。。。。样本方差以符号S2体现，， ，，，， ，，是总体方差的预计值，， ，，，， ，，按公式（369）盘算：
式中∑（X-X）2为离均差平方和，， ，，，， ，， n-1为自由度（n′）。。。。。因总体方差不易获得，， ，，，， ，，现实事情中常用样本方差作为总体方差的预计。。。。。
方差多用于方差剖析或两个样本标准差合并盘算之用。。。。。如甲组25人，， ，，，， ，，标准差为28，， ，，，， ，，乙组46人，， ，，，， ，，标准差为22，， ，，，， ，，两组合并标准差公式为（369）：
三、 标准差
凭证上述看法，， ，，，， ，，全距系指一组变量值中最大值与最小值的差；；；；；；；标准差则体现这一组变量值漫衍的离散水平。。。。。为进一步说明其离散水平，， ，，，， ，，试看下面这两组数据：
A组：80、90、100、110、120（平均数=100）
B组：98、99、100、101、102（平均数=100）
这两组数值的均数都是100，， ，，，， ，，可是变量值的波动规模却有很大差别，， ，，，， ，，A组数据最大值与最小值之差（全距）为40(120～80)，， ，，，， ，，B组数据最大值与最小值之差（全距）为4(102～98)。。。。。由此可见，， ，，，， ，，A组数据的波动规模比B组大得多。。。。。故均数不可完全说明事物内部的实质，， ，，，， ，，需要用标准差来综合剖析。。。。。现在以为反应数据准确度较为完善的指标就是标准差。。。。。
又如：甲组5例病人的烧伤总面积划分为90%、80%、70%、21%、9%TBSA，， ，，，， ，，平均为54%TBSA；；；；；；；乙组5例病人的烧伤总面积划分为100%、49%、49%、36%、36%TBSA，， ，，，， ，，平均值也为54%TBSA，， ，，，， ，，但甲组特重度病人有3例，， ，，，， ，，乙组仅有1例。。。。。两组均值虽然相等，， ，，，， ，，但并无同质性和可比性，， ，，，， ，，同时也可看出标准差的主要性。。。。。由于标准差是一个个体数据无意性波动巨细的标准标准，， ，，，， ，，标准差大，， ，，，， ，，体现个体数据波动性大，， ，，，， ，，标准差小，， ，，，， ，，体现个体数据波动性小。。。。。
四、标准差盘算
1直接盘算公式（3610）：
S为标准差，， ，，，， ，，∑Χ2为变量值平方后的和，， ，，，， ，，（∑x）2是变量值总和后的平方，， ，，，， ，，n为变量个数。。。。。
示例365：测得9例创面出血病人的血小板数目划分为：30、50、40、40、50、40、30、50、149（×109/L），， ，，，， ，，求它们的标准差。。。。。
【解题办法】
先划分求出公式（3610）中的∑Χ2和（∑Χ）2/n，， ，，，， ，，及n-1值，， ，，，， ，，然子女入公式。。。。。
由于∑Χ2为变量值平方后的和，， ，，，， ，，即：
∑Χ2=302+502+402+402+502+402+302+502+1492=36301
［（∑Χ）2］/n=（30+50+40+40+50+40+30+50+149）2/9=254934
（n-1）为（9-1）=8
代入公式（3610），， ，，，， ，，得：
答：9例创面出血病人的血小板标准差为36755×109/L。。。。。
2大样本加权法公式
盘算大样本资料，， ，，，， ，，应绘制频数表资料，， ，，，， ，，凭证公式（3611）盘算标准差：
式中∑fX为各组段X与本组段频数乘积之和，， ，，，， ，，∑fΧ2为各组段fx与本组段X乘积之和。。。。。
示例366仍以例362为例，， ，，，， ，，即某院视察了110例特重度烧伤病人的血液血红卵白含量，， ，，，， ，，其浓度规模在115～150 g/L之间，， ，，，， ，，求其标准差。。。。。
【解题办法】
凭证表362中提供的数据，， ，，，， ，，将(∑f)=110、(∑fX)=13194、(∑fΧ2)=1584990代入公式（3611），， ，，，， ，，得：
效果：110例烧伤病人的血红卵白标准差为472g/L。。。。。
五、变异系数
在统计学上将变量值间的差别称为变异，， ，，，， ，，批注这种变异的指标有全距、标准差和变异系数。。。。。如上所述，， ，，，， ，，标准差的作用是用来确定两组数据的波动水平，， ，，，， ，，一样平常情形下，， ，，，， ，，哪一个标准差大，， ，，，， ，，哪一组的数据波动规模也大；；；；；；；哪一个标准差小，， ，，，， ，，其波动规模也小。。。。。可是，， ，，，， ，，当较量差别类型的数据时，， ，，，， ，，如身长与体重，， ，，，， ，，或两个平均数相差较大时，， ，，，， ，，若直接用标准差判断它们的波动水平就不稳当了，， ，，，， ，，由于标准差只能反应绝对波动巨细，， ，，，， ，，不可反应相对波动巨细。。。。。这种表达相对数波动巨细的指数称为变异系数，， ，，，， ，，用cv或ν体现。。。。。该指标也可明确为用百分比体现的标准差，， ，，，， ，，即标准差（s）与均数（X）之比。。。。。其公式为（3612）：
示例367某院视察了7岁男孩身高均数为12116cm，， ，，，， ，，标准差为431cm，， ，，，， ，，胸围均数5771cm，， ，，，， ，，标准差为282cm。。。。。较量两者的变异水平。。。。。
【解题办法】
凭证公式（3612），， ，，，， ，，划分求身长变异系数和胸围变异系数：
答：本例身长均数显着大于胸围均数，， ，，，， ，，若与标准差直接较量，， ，，，， ，，胸围的变异系数似乎小于身长，， ，，，， ，，但经由变异系数盘算，， ，，，， ，，结论为胸围的变异水平并不比身长变异水平小。。。。。由此可见，， ，，，， ，，身长的变异水平比胸围稳固。。。。。
六、标准误
由于均数的标准误与样本标准差相似，， ，，，， ，，都是说明离散水平的指标，， ，，，， ，，故在此作一先容。。。。。变异系数均数标准误有两种，， ，，，， ，，一种是总体标准误，， ，，，， ，，一种是样本标准误。。。。。总体标准误（σx）和样本标准误（sx、SE、SEM）是体现均数误差水平的指标。。。。。在医学研究中，， ，，，， ，，常在总体中抽出一部分作为样本，， ，，，， ，，然后再凭证样本的视察效果推论总体情形。。。。。可是，， ，，，， ，，由于在统一总体中的个体之间一定保存着差别（犹如是50%TBSA烧伤），， ，，，， ，，样本均数与总体均数之间保存差别，， ，，，， ，，各个样本均数之间一定爆发差别，， ，，，， ，，谓之标准误（sx），， ，，，， ，，是由抽样引起的。。。。。标准误越小，， ，，，， ，，说明样本均数与总体均数越靠近，， ，，，， ，，用样本均数推论总体均数的可能性越大；；；；；；；反之，， ，，，， ，，标准误越大，， ，，，， ，，说明用样本均数推论总体均数的可能性越小。。。。。故均数标准误是测定样本均数变异规模的标准。。。。。在医学资料中，， ，，，， ，，常用样本均数±标准误的形式（x±sx）体现资料的可靠水平。。。。。一样平常来说，， ，，，， ，，在x±1×sx的规模内，， ，，，， ，，总体均数泛起的概率为683%；；；；；；；在x±2×sx的规模内，， ，，，， ，，总体均数泛起的概率为95%，， ，，，， ，，或者说有95%以上的掌握可以为总体均数在这个规模之内，， ，，，， ，，也可以为重复同样实验100次，， ，，，， ，，得出100个均数，， ，，，， ，，会有95%以上的均数漫衍在x±2×sx的规模内。。。。。公式（3613）为：
sx为标准误，， ，，，， ，，s为样本标准差，， ，，，， ，，n为样本个数。。。。。
示例368某院抽查了100例病人的血液红细胞数目，， ，，，， ，，其样本均值为50×109/L，， ，，，， ，，样本标准差为246×109/L，， ，，，， ，，求其标准误。。。。。
【解题办法】
凭证公式（3613），， ，，，， ，，求得：
答：本例样本标准误为0246（×109/L），， ，，，， ，，资料的可靠水平为50±0246（×109/L）。。。。。
七、平均数、标准差、标准误的应用
1体现正惯例模如体温、脉搏，， ，，，， ，，血压，， ，，，， ，，红细胞，， ，，，， ，，白细胞等正常值等盘算均需要标准差的加入。。。。。正常值规模一样平常是以平均数±2个标准差作为划定界线，， ，，，， ，，现以红细胞为例说明这个问题。。。。。如我们所求得的康健男子红细胞平均值为50×109/L，， ，，，， ，，标准差为25×109/L，， ，，，， ，，则正常男子红细胞的正常值可定为50±2×25，， ，，，， ，，即45×109/L～55×109/L规模内。。。。。但应注重，， ，，，， ，，在应用此要领时，， ，，，， ，，变量的漫衍必需是正态漫衍，， ，，，， ，，如属于非正态漫衍者，， ，，，， ，，应接纳其他要领盘算。。。。。
2预计受试工具所需样本数
（1）使用标准误公式推算样本数：
示例369某医院测定了80名严重烧伤患者早期血液肌酐（Cr）含量，， ，，，， ，，测定效果：均数（x）=1548μmmol/L，， ，，，， ，，标准差(s)=158μmmol/L ，， ，，，， ，，标准误=1778μmmol/L，， ，，，， ，， 即现在95%的置信限为1548±354μmmol/L ，， ，，，， ，，欲求95%的置信限在158±20μmmol/L的规模内，， ，，，， ，，需要视察几多例才华泛起这种效果?
【解题办法】
①凭证标准误盘算公式(3613)推算样本数（n），， ，，，， ，，公式为(3614)：
②由于95%的置信限为x±2×sx，， ，，，， ，，今求2×sx=20，， ，，，， ，，即sx=10。。。。。把有关数据代入公式（3614），， ，，，， ，，得：
③结论：若把视察人数增添到250人，， ，，，， ，，可能使置信限规模抵达1548±20μmol/L 。。。。。
（2）使用两合并标准差推算样本数：
示例3510某医生用某药治疗粒细胞镌汰症，， ，，，， ，，为视察某药物用口服要领及肌肉注射要领对最高疗效泛起时间(天)的影响。。。。。凭证准备试验效果，， ，，，， ，，口吃法最高疗效泛起的平均时间为222天，， ，，，， ，，肌肉注射法为175天，， ，，，， ，，合并标准差(s)为1391天。。。。。问各组需视察几多例才华使两组均数的差别有显著意义?
【解题办法】
①本例是两个样本平均数作较量的资料，， ，，，， ，，当两组样内情等时，， ，，，， ，，其样本巨细的预计公式为（3615）：
n=每组例数，， ，，，， ，，t005=表中查出的标准值，， ，，，， ，，s=合并标准差，， ，，，， ，，x1-x2=两组均数差。。。。。
②当n≥30时，， ，，，， ，，查表得出t005=20，， ，，，， ，，因x1-x2=475，， ，，，， ，，s=1391，， ，，，， ，，代入公式（3615）：
③结论：每组需要视察69例才华使两组均数差别有显著意义。。。。。